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初三相似三角形難題集

【章節訓練】第 27 章 相似-8
一、選擇題(共 15 小題) 1. (2011?惠山區模擬)梯形 ABCD 中 AB∥ CD,∠ ADC+∠ BCD=90°,以 AD、AB、BC 為斜邊向外作等腰直角三角 形,其面積分別是 S1、S2、S3,且 S1+S3=4S2,則 CD=( )

A.2.5AB

B.3AB

C.3.5AB

D.4AB

2. (2012?深圳二模)如圖,n+1 個邊長為 2 的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設△ B2D1C1 面積為 S1,△ B3D2C2 面積為 S2,…,△ Bn+1DnCn 面積為 Sn,則 Sn 等于( )

A.

B.

C.

D.

3.如圖,Rt△ ABC 中,AC⊥ BC,AD 平分∠ BAC 交 BC 于點 D,DE⊥ AD 交 AB 于點 E,M 為 AE 的中點,BF⊥ BC 交 CM 的延長線于點 F,BD=4,CD=3.下列結論:① ∠ AED=∠ ADC;② = ;③ AC?BE=12;④ 3BF=4AC.其中結論 正確的個數有( )

A.1 個

B.2 個

C.3 個

D.4 個

4.如圖,正方形 ABCD 中,在 AD 的延長線上取點 E、F,使 DE=AD,DF=BD;BF 分別交 CD,CE 于 H、G 點, 連接 DG,下列結論:① ∠ GDH=∠ GHD;② △ GDH 為正三角形;③ EG=CH;④ EC=2DG;⑤ S△CGH:S△DBH=1:2.其中正 確的是( )

② ③ A.①

③ ④ B.②

④ ⑤ C.③

③ ⑤ D.①

5.如圖,在矩形 ABCD 中,對角線 AC,BD 相交于點 G,E 為 AD 的中點.連接 BE 交 AC 于點 F,連接 FD.若 ∠ BFA=90°,則下列四對三角形: (1)△ BEA 與△ ACD; (2)△ FED 與△ DEB; (3)△ CFD 與△ ABG; (4)△ ADF 與△ CFB, 其中相似的有( )

A.(1) (4)

B.(1) (2)

C.(2) (3) (4) D.(1) (2) (3)

6. 已知: △ ABC 中, ∠ ACB=90°, AC=BC, D 為 BC 中點, CF⊥ AD. 下列結論: ① ∠ ADF=45°; ② ∠ ADC=∠ BDF; ③ AF=2BF; ④ CF=3DF. 正確的有( )

A.1 個

B.2 個

C.3 個

D.4 個 ,BQ= BC, CR= CA, 已知陰影△ PQR

7.如圖所示, △ ABC 中, 點 P, Q, R 分別在 AB,BC,CA 邊上, 且 AP= 的面積是 19cm ,則△ ABC 的面積是(
2



A.38

B.42.8

C.45.6

D.47.5

8.如圖,AB 為等腰直角△ ABC 的斜邊(AB 為定長線段) ,O 為 AB 的中點,P 為 AC 延長線上的一個動點,線段 PB 的垂直平分線交線段 OC 于點 E,D 為垂足,當 P 點運動時,給出下列四個結論: ① E 為△ ABP 的外心;② △ PBE 為等腰直角三角形; ③ PC?OA=OE?PB;④ CE+PC 的值不變.

A.1 個

B.2 個

C.3 個

D.4 個

9.如圖,D 為⊙ O 的直徑 AB 上任一點,CD⊥ AB,若 AD、BD 的長分別等于 a 和 b,則通過比較線段 OC 與 CD 的 大小,可以得到關于正數 a 和 b 的一個性質,你認為這個性質是( )

A.

B.

C.

D.

10.如圖,四邊形 EFGH 是矩形 ABCD 的內接矩形,且 EF:FG=3:1,AB:BC=2:1,則 tan∠ AHE 的值為(



A.

B.

C.

D.

11. (2011?綦江縣模擬)如圖,把矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊,使點 B 落在 AD 邊上的點 B′ 處,點 A 落在點 A′ 處.設 AE=a,AB=b,BF=c,下列結論: ① B′ E=BF;② 四邊形 B′ CFE 是平行四邊形;③ a +b =c ;④ △ A′ B′ E∽ △ B′ CD; 其中正確的是( )
2 2 2

④ A.②

④ B.①

③ C.②

③ D.①

12.如圖,O 為矩形 ABCD 的中心,將直角△ OPQ 的直角頂點與 O 重合,一條直角邊 OP 與 OA 重合,使三角板沿 逆時針方向繞點 O 旋轉,兩條直角邊始終與邊 BC、AB 相交,交點分別為 M、N.若 AB=4,AD=6,BM=x,AN=y, 則 y 與 x 之間的函數圖象是( )

A.

B.

C.

D.

13.如圖,ABCD、CEFG 是正方形,E 在 CD 上,直線 BE、DG 交于 H,且 HE?HB= ,BD、AF 交于 M, 當 E 在線段 CD(不與 C、D 重合)上運動時,下列四個結論:① BE⊥ GD;② AF、GD 所夾的銳角為 45°;③ GD= ; ④ 若 BE 平分∠ DBC,則正方形 ABCD 的面積為 4.其中正確的結論個數有( )

A.1 個

B.2 個

C.3 個

D.4 個

14. (2013?蘄春縣模擬)如圖,點 O 為正方形 ABCD 的中心,BE 平分∠ DBC 交 DC 于點 E,延長 BC 到點 F,使 FC=EC,連接 DF 交 BE 的延長線于點 H,連接 OH 交 DC 于點 G,連接 HC.則以下四個結論中正確結論的個數為 ( ) ① OH= BF;② ∠ CHF=45°;③ GH= BC;④ DH =HE?HB.
2

A.1 個

B.2 個

C.3 個

D.4 個

15. (2011?金平區二模)如圖,△ ABC 與△ AFG 是兩個全等的等腰直角三角形,∠ BAC=∠ F=90°,BC 分別與 AF,AG 相交于點 D,E.則圖中不全等的相似三角形有( )

A.0 對

B.1 對

C.2 對

D.3 對

二、填空題(共 8 小題) (除非特別說明,請填準確值) 16. (2012?舟山)如圖,在 Rt△ ABC 中,AB=BC,∠ ABC=90°,點 D 是 AB 的中點,連接 CD,過點 B 作 BG⊥ CD, 分別交 CD,CA 于點 E,F,與過點 A 且垂直于 AB 的直線相交于點 G,連接 DF,給出以下五個結論: ① = ;② ∠ ADF=∠ CDB;③ 點 F 是 GE 的中點;④ AF= AB;⑤ S△ABC=5S△BDF,

其中正確結論的序號是 _________ .

17.如圖,直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ BAC=∠ ADC=90°,AB=AC,CE 平分∠ ACB 交 AB 于點 E,F 為 BC 上一 點,BF=AE,連接 AF 交 CE 于點 G,連接 DG 交 AC 于點 H.下列結論:

① AF⊥ CE;② △ ABF∽ △ DGA;③ AF=

DH;④



其中正確的結論有 _________ .

18. (2012?瀘州)如圖,n 個邊長為 1 的相鄰正方形的一邊均在同一直線上,點 M1,M2,M3,…Mn 分別為邊 B1B2, B2B3,B3B4,…,BnBn+1 的中點,△ B1C1M1 的面積為 S1,△ B2C2M2 的面積為 S2,…△ BnCnMn 的面積為 Sn,則 Sn= _________ . (用含 n 的式子表示)

19.如圖,在直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ B=90°,E 為 AB 上一點,且 ED 平分∠ ADC,EC 平分∠ BCD,則下列 結論:① DE⊥ EC;② 點 E 是 AB 中點;③ AD?BC=BE?DE;④ CD=AD+BC.其中正確的有 _________ .

20. (2011?盤錦)如圖,在正方形 ABCD 中,點 E、F 分別為 AD、AB 的中點,連接 DF、CE,DF 與 CE 交于點 H, 則下列結論:① DF⊥ CE;② DF=CE;③ = ;④ = .其中正確結論的序號有 _________ .

21. (2011?內江)在直角坐標系中,正方形 A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1 按如圖所示的方式放置,其中 點 A1、A2、A3、…、An 均在一次函數 y=kx+b 的圖象上,點 C1、C2、C3、…、Cn 均在 x 軸上.若點 B1 的坐標為(1, 1) ,點 B2 的坐標為(3,2) ,則點 An 的坐標為 _________ .

22. (2010?淮安)已知菱形 ABCD 中,對角線 AC=8cm,BD=6cm,在菱形內部(包括邊界)任取一點 P,得到△ ACP 2 并涂成黑色,使黑色部分的面積大于 6cm 的概率為 _________ .

23. (2010?江津區)已知:在面積為 7 的梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AD=3,BC=4,P 為邊 AD 上不與 A、D 重合的 一動點,Q 是邊 BC 上的任意一點,連接 AQ、DQ,過 P 作 PE∥ DQ 交 AQ 于 E,作 PF∥ AQ 交 DQ 于 F,則△ PEF 面 積最大值是 _________ .

三、解答題(共 7 小題) (選答題,不自動判卷) 24. (2011?營口)如圖(1) ,直線 y=﹣x+3 與 x 軸、y 軸分別交于點 B、點 C,經過 B、C 兩點的拋物線 y=x +bx+c 與 x 軸的另一個交點為 A,頂點為 P. (1)求該拋物線的解析式; (2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點 M,使以 C、P、M 為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請直接寫出所 有符合條件的點 M 的坐標;若不存在,請說明理由; (3)連接 AC,在 x 軸上是否存在點 Q,使以 P、B、Q 為頂點的三角形與△ ABC 相似?若存在,請求出點 Q 的坐 標;若不存在,請說明理由; (4)當 0<x<3 時,在拋物線上求一點 E,使△ CBE 的面積有最大值. (圖(2) 、圖(3)供畫圖探究)
2

25. (2011?莆田)已知菱形 ABCD 的邊長為 1.∠ ADC=60°,等邊△ AEF 兩邊分別交邊 DC、CB 于點 E、F.

(1)特殊發現:如圖 1,若點 E、F 分別是邊 DC、CB 的中點.求證:菱形 ABCD 對角線 AC、BD 交點 O 即為等 邊△ AEF 的外心; (2)若點 E、F 始終分別在邊 DC、CB 上移動.記等邊△ AEF 的外心為點 P. ① 猜想驗證:如圖 2.猜想△ AEF 的外心 P 落在哪一直線上,并加以證明; ② 拓展運用:如圖 3,當△ AEF 面積最小時,過點 P 任作一直線分別交邊 DA 于點 M,交邊 DC 的延長線于點 N,試 判斷 是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

26. (2011?鹽城)情境觀察 將矩形 ABCD 紙片沿對角線 AC 剪開,得到△ ABC 和△ A′ C′ D,如圖 1 所示.將△ A′ C′ D 的頂點 A′ 與點 A 重合,并 繞點 A 按逆時針方向旋轉,使點 D、A(A′ ) 、B 在同一條直線上,如圖 2 所示. 觀察圖 2 可知:與 BC 相等的線段是 _________ ,∠ CAC′ = _________ °.

問題探究 如圖 3,△ ABC 中,AG⊥ BC 于點 G,以 A 為直角頂點,分別以 AB、AC 為直角邊,向△ ABC 外作等腰 Rt△ ABE 和等 腰 Rt△ ACF,過點 E、F 作射線 GA 的垂線,垂足分別為 P、Q.試探究 EP 與 FQ 之間的數量關系,并證明你的結論. 拓展延伸 如圖 4,△ ABC 中,AG⊥ BC 于點 G,分別以 AB、AC 為一邊向△ ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF,射線 GA 交 EF 于點 H.若 AB=kAE,AC=kAF,試探究 HE 與 HF 之間的數量關系,并說明理由.

27. (2011?義烏市)如圖 1,在等邊△ ABC 中,點 D 是邊 AC 的中點,點 P 是線段 DC 上的動點(點 P 與點 C 不重 合) ,連接 BP.將△ ABP 繞點 P 按順時針方向旋轉 α 角(0°<α<180°) ,得到△ A1B1P,連接 AA1,射線 AA1 分別交 射線 PB、射線 B1B 于點 E、F. (1) 如圖 1, 當 0°<α<60°時, 在 α 角變化過程中, △ BEF 與△ AEP 始終存在 _________ 關系 (填“相似”或“全等”) , 并說明理由; (2)如圖 2,設∠ ABP=β.當 60°<α<180°時,在 α 角變化過程中,是否存在△ BEF 與△ AEP 全等?若存在,求出 α 與 β 之間的數量關系;若不存在,請說明理由; (3)如圖 3,當 α=60°時,點 E、F 與點 B 重合.已知 AB=4,設 DP=x,△ A1BB1 的面積為 S,求 S 關于 x 的函數 關系式.

28. (2011?欽州)如圖,AB 為⊙ O 的直徑,C 為⊙ O 上一點,AD 和過 C 點的切線互相垂直,垂足為 D. (1)求證:AC 平分∠ DAB; (2)過點 O 作線段 AC 的垂線 OE,垂足為 E(要求:尺規作圖,保留作圖痕跡,不寫作法) ; (3)若 CD=4,AC=4 ,求垂線段 OE 的長.

29. (2011?西寧)如圖,BD 為⊙ O 的直徑,AB=AC,AD 交 BC 于點 E,AE=2,ED=4, (1)求證:△ ABE∽ △ ADB; (2)求 AB 的長; (3)延長 DB 到 F,使得 BF=BO,連接 FA,試判斷直線 FA 與⊙ O 的位置關系,并說明理由.

30. (2011?黔南州)如圖,在平面直角坐標系中,點 A 的坐標為(1, ) ,△ AOB 的面積是 . (1)求點 B 的坐標; (2)求過點 A、O、B 的拋物線的解析式; (3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點 C,使△ AOC 的周長最小?若存在,求出點 C 的坐標;若不存在,請 說明理由; (4)在(2)中 x 軸下方的拋物線上是否存在一點 P,過點 P 作 x 軸的垂線,交直線 AB 于點 D,線段 OD 把△ AOB 分成兩個三角形,使其中一個三角形面積與四邊形 BPOD 面積比為 2:3?若存在,求出點 P 的坐標;若不存在, 請說明理由.

【章節訓練】第 27 章 相似-8
參考答案與試題解析
一、選擇題(共 15 小題) 1. (2011?惠山區模擬)梯形 ABCD 中 AB∥ CD,∠ ADC+∠ BCD=90°,以 AD、AB、BC 為斜邊向外作等腰直角三角 形,其面積分別是 S1、S2、S3,且 S1+S3=4S2,則 CD=( )

A.2.5AB 考點:

B.3AB 勾股定理;等腰 直角三角形;相 似三角形的判 定與性質. 計算題;證明 題;壓軸題. 過點 B 作 BM∥ AD,根據 AB∥ CD, 求證四 邊形 ADMB 是 平行四邊形,再 利用 ∠ ADC+∠ BCD=9
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C.3.5AB

D.4AB

專題: 分析:

0°,求證△ MBC 為 Rt△ ,再利用 勾股定理得出 MC =MB +BC ,在利用相似三 角形面積的比 等于相似比的 平方求出 MC 即 可. 解:過點 B 作 BM∥ AD, ∵ AB∥ CD, ∴ 四邊 形 ADMB 是平 行四邊形, ∴ AB=DM, AD=BM, 又 ∵ ∠ ADC+∠ BCD= 90°, ∴ ∠ BMC+∠ BCM =90°,即△ MBC
2 2 2

解答:

為 Rt△ , ∴ MC =MB +BC 2 , ∵ 以 AD、AB、 BC 為斜邊向外 作等腰直角三 角形, ∴ △ AED∽ △ ANB, △ ANB∽ △ BFC, = ,
2 2

= 即 AD =
2





BC =
2 2

2



∴ MC =MB +BC 2 2 2 =AD +BC = +=

=

, ∵ S1+S3=4S2, 2 2 ∴ MC =4AB , MC=2AB, CD=DM+MC= AB+2AB=3AB. 故選 B.

點評:

此題涉及到相 似三角形的判 定與性質,勾股 定理,等腰直角

三角形等知識 點,解答此題的 關鍵是過點 B 作 BM∥ AD,此 題的突破點是 利用相似三角 形的性質求得 MC=2AB,此題 有一定的拔高 難度,屬于難 題. 2. (2012?深圳二模)如圖,n+1 個邊長為 2 的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設△ B2D1C1 面積為 S1,△ B3D2C2 面積為 S2,…,△ Bn+1DnCn 面積為 Sn,則 Sn 等于( )

A.

B.

C.

D.

考點:

專題: 分析:

解答:

相似三角形的 判定與性質;等 邊三角形的性 質. 壓軸題;規律 型. 由 n+1 個邊長為 2 的等邊三角形 有一條邊在同 一直線上,則 B1, B2, B3, …Bn 在一條直線上, 可作出直線 B1B2.易求得 △ AB1C1 的面 積,然后由相似 三角形的性質, 易求得 S1 的值, 同理求得 S2 的 值, 繼而求得 Sn 的值. 解:n+1 個邊長 為 2 的等邊三角 形有一條邊在 同一直線上,則 B1, B2, B3, …Bn 在一條直線上,
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作出直線 B1B2. ∴ S△AB1C1= ×2× = , ∵ ∠ B1C1B2=60°, ∴ AB1∥ B2C1, ∴ △ B1C1B2 是等 邊△ , 且邊長=2, ∴ △ B1B2D1∽ △ C1 AD1, ∴ B1D1: D1C1=1:1, ∴ S1= ,

同理:B2B3: AC2=1:2, ∴ B2D2: D2C2=1:2, ∴ S2= ,

同理:BnBn+1: ACn=1:n, ∴ BnDn: DnCn=1:n, ∴ Sn= 故選 D. .

點評:

此題考查了相 似三角形的判 定與性質以及 等邊三角形的 性質.此題難度 較大,屬于規律 性題目,注意輔 助線的作法,注 意數形結合思 想的應用.

3.如圖,Rt△ ABC 中,AC⊥ BC,AD 平分∠ BAC 交 BC 于點 D,DE⊥ AD 交 AB 于點 E,M 為 AE 的中點,BF⊥ BC 交 CM 的延長線于點 F,BD=4,CD=3.下列結論:① ∠ AED=∠ ADC;② = ;③ AC?BE=12;④ 3BF=4AC.其中結論 正確的個數有( )

A.1 個 考點:

B.2 個 相似三角形的 判定與性質;角 平分線的性質; 等腰三角形的 判定與性質. 壓軸題. ① ∠ AED=90°﹣ ∠ EAD, ∠ ADC=90°﹣ ∠ DAC, ∠ EAD=∠ DAC; ② 易證 △ ADE∽ △ ACD, 得 DE: DA=DC: AC=3:AC,AC 不一定等于 4; ③ 當 FC⊥ AB 時 成立; ④ 連接 DM,可 證 DM∥ BF∥ AC, 得 FM:MC=BD: DC=4:3;易證 △ FMB∽ △ CMA, 得比例線段求 解. 解:① ∠ AED=90° ﹣∠ EAD, ∠ ADC=90°﹣ ∠ DAC, ∵ AD 平分∠ BAC ∴ ∠ EAD=∠ DAC, ∴ ∠ AED=∠ ADC. 故本選項正確; ② ∵ ∠ EAD=∠ DAC , ∠ ADE=∠ ACD=9 0°, ∴ △ ADE∽ △ ACD, 得 DE: DA=DC:
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C.3 個

D.4 個

專題: 分析:

解答:

AC=3:AC,但 AC 的值未知, 故不一定正確; ③ 由① 知 ∠ AED=∠ ADC, ∴ ∠ BED=∠ BDA, 又 ∵ ∠ DBE=∠ ABD, ∴ △ BED∽ △ BDA, ∴ DE:DA=BE: BD,由② 知 DE: DA=DC:AC, ∴ BE:BD=DC: AC, ∴ AC?BE=BD?D C=12. 故本選項正確; ④ 連接 DM,則 DM=MA. ∴ ∠ MDA=∠ MAD =∠ DAC, ∴ DM∥ BF∥ AC, 由 DM∥ BF 得 FM:MC=BD: DC=4:3; 由 BF∥ AC 得 △ FMB∽ △ CMA, 有 BF: AC=FM: MC=4:3, ∴ 3BF=4AC. 故本選項正確. 綜上所述,① ③ ④ 正確, 共有 3 個. 故選 C.

點評:

此題重點考查 相似三角形的 判定和性質,綜 合性強,證明 △ ADE∽ △ ACD 和 △ FMB∽ △ CMA 是解決本題的 關鍵.

4.如圖,正方形 ABCD 中,在 AD 的延長線上取點 E、F,使 DE=AD,DF=BD;BF 分別交 CD,CE 于 H、G 點, 連接 DG,下列結論:① ∠ GDH=∠ GHD;② △ GDH 為正三角形;③ EG=CH;④ EC=2DG;⑤ S△CGH:S△DBH=1:2.其中正 確的是( )

② ③ A.① 考點:

③ ④ B.② 正方形的性質; 相似三角形的 性質. 壓軸題. 本題為選擇題, 做選擇題是要 有技巧,像排除 法,假設法都可 以用,先看選項 因為都有③ 選項 故③ 可作為已知 條件求解, △ DHB∽ △ CHG
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④ ⑤ C.③

③ ⑤ D.①

專題: 分析:

根據面積比等 于相似比的平 方可得 S△CGH: S△DBH=1:2 故 選項有⑤ , 然后再看① ④ 中 間哪個正確,先 看① 過G作 GO⊥ CD 于 O, 設正方形邊長 為 1,則 , 可求得 CH= = = OC= ﹣ = , = 所以 ,OD=1 ,又

=

=

所 ,

以 DH= DO=DH﹣ OH=1﹣

,可

解答:

得 DO=OH, △ DGH 為等腰三 角形, ∠ GDH=∠ GHD, ① 正確. 解: (1)∵ 選項 都有③ ,故可確 定 EG=CH. (2)由題意可 得四邊形 BCED 為平行四邊形, 進而推出 △ DHB∽ △ CHG, = = ,

∵ 面積比等于相 似比的平方 ∴ S△CGH: S△DBH=1:2. (3)先看① 設正 方形邊長為 1.則 = 求得 CH= = = OD=1﹣ = H= = = , = 所以 ,又 ∴ D .DO = 可

=DH﹣OH=1﹣ ∴ 可得

DO=OH, △ DGH 為等腰三角形, 即得 ∠ GDH=∠ GHD, ① 正確 故選 D.

點評:

本題考查的知 識點比較多,正 方形四邊相等 的性質及等腰 三角形兩底角 相等的性質,面 積比等于相似 比的平方,相似 三角形的比例 關系要熟練掌 握,另外還要掌 握做選擇題的 一些方法,可是 選擇題的解答 即快又準.

5.如圖,在矩形 ABCD 中,對角線 AC,BD 相交于點 G,E 為 AD 的中點.連接 BE 交 AC 于點 F,連接 FD.若 ∠ BFA=90°,則下列四對三角形: (1)△ BEA 與△ ACD; (2)△ FED 與△ DEB; (3)△ CFD 與△ ABG; (4)△ ADF 與△ CFB, 其中相似的有( )

A.(1) (4) 考點:

B.(1) (2)

C.(2) (3) (4) D.(1) (2) (3)

專題: 分析:

矩形的性質;相 似三角形的判 定與性質. 計算題;壓軸 題. 根據題意,分別 尋找各對三角 形相似的條件, 運用判定方法 判 斷.∠ EFC=∠ AD C=90°
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∴ ∠ DCA+∠ FED= 180° ∵ ∠ FED+∠ AEB= 180° ∴ ∠ AEB=∠ DCA, ∠ CDA=∠ DAB= 90° ∵ ∠ DAC=∠ ABE∴ △ BEA∽ △ ACD. 再利用相似三 角形相似的判 定證明△ FED 與 △ DEB, △ CFD 與 △ ABG 相似,而 (4)不成立. 解: (1)∵ 矩形 ABCD, ∴ ∠ EAB=∠ CDA= 90°, ∴ ∠ BAF+∠ CAD= 90°, 又∠ BFA=90°, ∴ ∠ BAF+∠ ABF= 90°, ∴ ∠ CAD=∠ ABF, ∴ △ BEA 與△ ACD 相似;故此選項 正確; (2)△ FED 與 △ DEB 相似.理 由: DE =AE =EF?E B, ∠ DEF=∠ BED; 故此選項正確; (3)△ CFD 與 △ ABG 相似.理 由:∠ CDF=90° ﹣∠ EDF, ∠ AGB=90°﹣ ∠ EBG, 由(2)的結論 得: ∠ EDF=∠ EBD, 故 ∠ CDF=∠ AGB; ∵ AB∥ CD, ∴ ∠ DCF=∠ BAG; 故此選項正確;
2 2

解答:

(4)△ ADF 與 △ CFB 不具備相 似條件. 故選 D.

點評:

本題主要考查 了三角形相似 的判定.

6. 已知: △ ABC 中, ∠ ACB=90°, AC=BC, D 為 BC 中點, CF⊥ AD. 下列結論: ① ∠ ADF=45°; ② ∠ ADC=∠ BDF; ③ AF=2BF; ④ CF=3DF. 正確的有( )

A.1 個 考點:

B.2 個 相似三角形的 判定與性質;全 等三角形的判 定與性質;等腰 三角形的性質.
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C.3 個

D.4 個

專題: 分析:

解答:

壓軸題. 根據已知對結 論進行分析,從 而得到答案. 解:作 BG⊥ CG, 交 CF 的延長線 于點 G, ∵ ∠ CGB=90°, CF⊥ AD ∴ ∠ 1=∠ 2 ∵ AC=BC ∴ △ ACD≌ △ CBG ∴ CD=BG, ∠ CDA=∠ CBG ∵ CD=BD ∴ BG=BD ∵ ∠ 3=∠ 4, BF=BF ∴ △ BFG≌ △ BFD ∴ ∠ FGB=∠ FDB ∴ ∠ ADC=∠ BDF

(故② 正確) 如圖 2,作 GB⊥ BC,交 CF 延長線于點 G, ∵ ∠ ACB=90°, BG⊥ BC ∴ AC∥ BG, ∠ CAB=∠ 3, ∠ AFC=∠ BFG ∴ △ BFG∽ △ AFC ∵ BE=BD= BC = AC ∴ = =

∴ AF=2BF(③ 正 確) 所以正確的有 兩個. 故選 B.

點評:

此題很復雜,解 答此題的關鍵 是作出輔助線, 利用三角形全 等及相似求解. ,BQ= BC, CR= CA, 已知陰影△ PQR

7.如圖所示, △ ABC 中, 點 P, Q, R 分別在 AB,BC,CA 邊上, 且 AP= 的面積是 19cm ,則△ ABC 的面積是(
2



A.38 考點:

B.42.8 三角形的面積; 相似三角形的 判定與性質. 壓軸題. 通過求出△ QPR 的面積和△ ABC 面積的比,即可 求出△ ABC 的面 積. 解:過 P 作 PM⊥ BC 于 M, 過 A 作 AN⊥ BC 于N ∴ △ BMP∽ △ BNA
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C.45.6

D.47.5

專題: 分析:

解答:

∴ PM:AN=BP: BA=2:3 設△ ABC 的面積 為 S,則 S△BQP= BQ?P M= ?( BC)? ( AN) = BC?AN? = S 同理可得出: S△QRC= S,

同理,過 P 作 PE⊥ AC 于 E, 過 B 作 BF⊥ AC 于 F. 則 S△APR= S

S 陰影=S﹣S△BQP ﹣S△QRC﹣

S△APR=

S=19

∴ △ ABC 的面積 S=12×19÷5=45. 6. 故選 C.

點評:

已知部分求整 體,可通過求得 部分占整體的 比重來求出整 體的值.

8.如圖,AB 為等腰直角△ ABC 的斜邊(AB 為定長線段) ,O 為 AB 的中點,P 為 AC 延長線上的一個動點,線段 PB 的垂直平分線交線段 OC 于點 E,D 為垂足,當 P 點運動時,給出下列四個結論: ① E 為△ ABP 的外心;② △ PBE 為等腰直角三角形; ③ PC?OA=OE?PB;④ CE+PC 的值不變.

A.1 個 考點:

B.2 個 相似三角形的 判定與性質;全 等三角形的性 質;全等三角形 的判定;線段垂 直平分線的性 質;等腰三角形 的性質;三角形 的外接圓與外 心. 幾何綜合題;壓 軸題. ① 由于外心是三 角形三邊中垂 線的交點,顯然 點 E 是 AB、BP 兩邊中垂線的
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C.3 個

D.4 個

專題: 分析:

解答:

交點,因此符合 △ ABP 外心的要 求,故① 正確; ② 此題要通過① 的結論來求,連 接 AE,根據三 角形的外心的 性質可知: AE=PE=BE,即 ∠ EPA=∠ EAP, ∠ EAB=∠ EBA, 再結合三角形 的內角和定理 進行求解即可; ③ 此題顯然要通 過相似三角形 來求解,由于 OA=OB,那么 可通過證 △ OEB∽ △ CPB 來 判斷③ 的結論是 否正確; ④ 此題較簡單, 過E作 EM⊥ OC,交 AC 于 M,那么 MC= CE,因 此所求的結論 可轉化為證 PM 是否為定值,觀 察圖形,可通過 證△ PEM、△ BEC 是否全等來判 斷. 解:① ∵ CO 為等 腰 Rt△ ABC 斜邊 AB 上的中線, ∴ CO 垂直平分 AB; 又∵ DE 平分 PB, 即 E 點是 AB、 BP 兩邊中垂線 的交點, ∴ E 點是△ ABP 的 外心,故① 正確; ② 如圖,連接 AE; 由① 知: AE=EP=EB,則

∠ EAP=∠ EPA, ∠ EPB=∠ EBP, ∠ EAB=∠ EBA; ∵ ∠ PAB=45°,即 ∠ EAP+∠ EPA+∠ EAB+∠ EBA=2 (∠ EAP+∠ EAB )=2∠ PAB=90°, 由三角形內角 和定理知: ∠ EPB+∠ EBP=90 °,即 ∠ EPB=∠ EBP=45 °, ∴ △ PEB 是等腰 直角三角形;故 ② 正確; ③ ∵ ∠ PBE=∠ ABC =45°, ∴ ∠ EBO=∠ PBC= 45°﹣∠ CBE, 又 ∵ ∠ EOB=∠ PCB= 90°, ∴ △ BPC∽ △ BEO, 得: , 即

PC?OB=OE?BC ?PC?OA=OE? BC; 故③ 錯誤; ④ 過E作 EM⊥ OC,交 AC 于 M; 易知:△ EMC 是 等腰直角三角 形,即 MC= EC, ∠ PME=45°; ∴ ∠ PEM=∠ BEC= 90°+∠ PEC, 又∵ EC=ME, PE=BE, ∴ △ PME≌ △ BCE (SAS) ,得 PM=BC,即 PM 是定值; 由于 PM=CM+PC=

EC+PC,所 以 CE+PC 的 值不變,故④ 正 確; 因此正確的結 論是① ② ④ ,故選 C.

點評:

此題主要考查 了三角形的外 接圓、等腰直角 三角形的性質、 全等三角形及 相似三角形的 相關知識等,綜 合性強,難度較 大.

9.如圖,D 為⊙ O 的直徑 AB 上任一點,CD⊥ AB,若 AD、BD 的長分別等于 a 和 b,則通過比較線段 OC 與 CD 的 大小,可以得到關于正數 a 和 b 的一個性質,你認為這個性質是( )

A.

B.

C.

D.

考點:

專題: 分析:

解答:

圓周角定理;垂 徑定理;射影定 理. 壓軸題. 連接 AC,BC; 根據射影定理 求解. 解:連接 AC, BC. 根據 AB 是直 徑,因而∠ ACB 是直角,CD 是 直角三角形斜 邊上的高線,因 而
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CD =AD?DB, 2 即 CD =ab, CD= . 而 OC= , 并

2

且 OC≥CD,則 ≥ 故選 A. .

點評:

本題主要考查 了圓中直徑所 對的弦是直徑, 并且考查了垂 徑定理. )

10.如圖,四邊形 EFGH 是矩形 ABCD 的內接矩形,且 EF:FG=3:1,AB:BC=2:1,則 tan∠ AHE 的值為(

A.

B.

C.

D.

考點:

專題: 分析:

勾股定理;全等 三角形的性質; 全等三角形的 判定;相似三角 形的判定與性 質. 壓軸題. 先求出△ AEH 與 △ BFE 相似,再 根據其相似比 EF:FG=3:1 設出 AE、 BF 的 長及 AB、 BC 的
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長, 求出

的值

解答:

即可. 解:∵ 四邊形 EFGH 是矩形 ABCD 的內接

矩形,EF: FG=3:1,AB: BC=2:1, ∴ ∠ HEA+∠ FEB= 90°, ∵ ∠ FEB+∠ EFB=9 0°, ∴ ∠ HEA=∠ EFB, ∵ ∠ HAE=∠ B, ∴ Rt△ HAE∽ △ EB F, ∴ = = =

, 同理可得, ∠ GHD=∠ EFB, HG=EF, ∴ △ GDH≌ △ EBF, DH=BF, DG=EB, 設 AB=2x, BC=x,AE=a, BF=3a, 則 AH=x﹣3a, AE=a, ∴ tan∠ AHE=tan∠ BEF, 即 = ,解得:x=8a, ∴ tan∠ AHE= = = . 故選 A 此題比較復雜, 解答此題的關 鍵是根據題意 求出相似三角 形的相似比,根 據各邊之間的 關系列出方程 解答.

點評:

11. (2011?綦江縣模擬)如圖,把矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊,使點 B 落在 AD 邊上的點 B′ 處,點 A 落在點 A′ 處.設 AE=a,AB=b,BF=c,下列結論: 2 2 2 ① B′ E=BF;② 四邊形 B′ CFE 是平行四邊形;③ a +b =c ;④ △ A′ B′ E∽ △ B′ CD;

其中正確的是(



④ A.② 考點:

④ B.① 翻折變換(折疊 問題) ;勾股定 理;平行四邊形 的判定;矩形的 性質;相似三角 形的判定. 幾何綜合題;壓 軸題. 由折疊前后對 應線段相等可 得① 成立,那么 只要判斷③ 成立 與否即可. 解:根據題意, 結論① B′ E=BF 正確; 連接 BE, 根據折疊可知: BF=B′ F, ∠ BFE=∠ B′ FE, 又∵ EF=EF ∴ △ B′ EF≌ △ BEF (SAS) , ∴ B′ E=BE, ∠ B′ FE=∠ BFE, 又∵ AD∥ BC, ∴ ∠ B'EF=∠ BFE, ∴ ∠ B′ FE=∠ B′ EF
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③ C.②

③ D.①

專題: 分析:

解答:

, ∴ B′ F=B′ E, ∴ B′ E=BF, ∴ BE=B′ F=BF= c, 在 Rt△ ABE 中, 根據勾股定理 2 2 2 可得, a +b =c ; 故選 D.

點評:

此題主要考查 圖形的折疊問 題,同時考查了 平行線的性質 和等角對等邊 等知識點.折疊 是一種對稱變 換,它屬于軸對 稱,根據軸對稱 的性質,折疊前 后圖形的形狀 和大小不變,只 是位置變化.

12.如圖,O 為矩形 ABCD 的中心,將直角△ OPQ 的直角頂點與 O 重合,一條直角邊 OP 與 OA 重合,使三角板沿 逆時針方向繞點 O 旋轉,兩條直角邊始終與邊 BC、AB 相交,交點分別為 M、N.若 AB=4,AD=6,BM=x,AN=y, 則 y 與 x 之間的函數圖象是( )

A.

B.

C.

D.

考點:

專題: 分析:

相似三角形的 性質;動點問題 的函數圖象. 綜合題;壓軸 題. 過點 O 分別作 OF⊥ AB 與 F, OE⊥ BC 與 E, 易 證明 △ NOF∽ △ MOE, 利用相似比作 為相等關系即 可得到關于 x, y
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解答:

的方程,整理即 可得到函數關 系式從而判斷 圖象. 解: 過點 O 分別 作 OF⊥ AB 與 F, OE⊥ BC 與 E ∵ ∠ POQ=∠ EOF= 90° ∴ ∠ NOF=∠ MOE ∵ ∠ NFO=∠ MEO =90° ∴ △ NOF∽ △ MOE ∴ = ∵ AB=4,AD=6, BM=x,AN=y ∴ NF=2﹣y, ME=3﹣x, OF=3,OE=2 ∴ =

∴ y= x﹣ (0< x<6) 故選 C.

點評:

解決有關動點 問題的函數圖 象類習題時,關 鍵是要根據條 件找到所給的 兩個變量之間 的函數關系,尤 其是在幾何問 題中,更要注意 基本性質的掌 握和靈活運用.

13.如圖,ABCD、CEFG 是正方形,E 在 CD 上,直線 BE、DG 交于 H,且 HE?HB= ,BD、AF 交于 M, 當 E 在線段 CD(不與 C、D 重合)上運動時,下列四個結論:① BE⊥ GD;② AF、GD 所夾的銳角為 45°;③ GD= ; ④ 若 BE 平分∠ DBC,則正方形 ABCD 的面積為 4.其中正確的結論個數有( )

A.1 個 考點:

B.2 個 相似三角形的 判定與性質;全 等三角形的判 定;正方形的性 質;圓周角定 理. 壓軸題;動點 型. ① 由已知條件可 證得 △ BEC≌ △ DGC, ∠ EBC=∠ CDG, 因為 ∠ BDC+∠ DBH+∠
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C.3 個

D.4 個

專題: 分析:

EBC=90°,所以 ∠ BDC+∠ DBH+∠ CDG=90°,即 BE⊥ GD,故① 正 確; ② 若以 BD 為直 徑作圓,那么此 圓必經過 A、 B、 C、H、D 五點, 根據圓周角定 理即可得到 ∠ AHD=45°,所 以② 的結論也是 正確的. ③ 此題要通過相 似三角形來解; 由② 的五點共 圓,可得 ∠ BAH=∠ BDH, 而 ∠ ABD=∠ DBG= 45°, 由此可判定 △ ABM∽ △ DBG, 根據相似三角 形的比例線段 即可得到 AM、 DG 的比例關

系; ④ 若 BE 平分 ∠ DBC,那么 H 是 DG 的中點; 易證得 △ ABH∽ △ BCE, 得 BD?BC=BE?B H,即 BC =BE?B H,因此只需求 出 BE?BH 的值 即可得到正方 形的面積,可先 求出 BE、 EH 的 比例關系,代入 已知的乘積式 中,即可求得 BE?BH 的值, 由此得解. 解:① 正確,證 明如下: ∵ BC=DC, CE=CG, ∠ BCE=∠ DCG=9 0°, ∴ △ BEC≌ △ DGC, ∴ ∠ EBC=∠ CDG, ∵ ∠ BDC+∠ DBH+ ∠ EBC=90°, ∴ ∠ BDC+∠ DBH+ ∠ CDG=90°,即 BE⊥ GD,故① 正 確; ② 由于∠ BAD、 ∠ BCD、∠ BHD 都是直角,因此 A、B、C、D、 H 五點都在以 BD 為直徑的圓 上; 由圓周角定理 知: ∠ DHA=∠ ABD= 45°,故② 正確; ③ 由② 知:A、B、 C、D、H 五點
2

解答:

共圓,則 ∠ BAH=∠ BDH; 又 ∵ ∠ ABD=∠ DBG =45°, ∴ △ ABM∽ △ DBG ,得 AM: DG=AB: BD=1: ,即 DG= AM; 故③ 正確; ④ 過H作 HN⊥ CD 于 N, 連接 EG; 若 BH 平分 ∠ DBG,且 BH⊥ DG,已知: BH 垂直平分 DG; 得 DE=EG,H 是 DG 中點, HN 為△ DCG 的中位 線; 設 CG=x,則: HN= x, EG=DE= x, DC=BC= ( +1)x; ∵ HN⊥ CD, BC⊥ CD, ∴ HN∥ BC, ∴ ∠ NHB=∠ EBC, ∠ ENH=∠ ECB, ∴ △ BEC∽ △ HEN, 則 BE: EH=BC: HN=2 +2,即 EH= ;

∴ HE?BH=BH? =4﹣ 2 ,即 BE?BH=4 ; ∵ ∠ DBH=∠ CBE, 且 ∠ BHD=∠ BCE=9 0°,

∴ △ DBH∽ △ EBC, 得: DB?BC=BE?B H=4 , 即 2 BC =4 , 2 得:BC =4,即 正方形 ABCD 的面積為 4; 故④ 正確; 因此四個結論 都正確, 故選 D.

點評:

本題主要考查 三角形相似和 全等的判定及 性質、正方形的 性質以及圓周 角定理等知識 的綜合應用,能 夠判斷出 A、 B、 C、D、H 五點 共圓是解題的 關鍵.

14. (2013?蘄春縣模擬)如圖,點 O 為正方形 ABCD 的中心,BE 平分∠ DBC 交 DC 于點 E,延長 BC 到點 F,使 FC=EC,連接 DF 交 BE 的延長線于點 H,連接 OH 交 DC 于點 G,連接 HC.則以下四個結論中正確結論的個數為 ( ) ① OH= BF;② ∠ CHF=45°;③ GH= BC;④ DH =HE?HB.
2

A.1 個 考點:

B.2 個 正方形的性質; 全等三角形的 判定與性質;角 平分線的性質; 三角形中位線 定理;相似三角

C.3 個

D.4 個

專題: 分析:

形的判定與性 質. 幾何綜合題;壓 軸題. 根據已知對各 個結論進行分 析,從而確定正 確的個數.① 作 EJ⊥ BD 于 J,連 接 EF,由全等 三角形的判定 定理可得 △ DJE≌ △ ECF, 再 由平行線的性 質得出 OH 是 △ DBF 的中位線 即可得出結論; ② 根據四邊形 ABCD 是正方 形, BE 是∠ DBC 的平分線可求 出 Rt△ BCE≌ Rt△ DC
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F,再由 ∠ EBC=22.5°即 可求出結論; ③ 根據 OH 是 △ BFD 的中位 線,得出 GH= CF,由 GH< BC,可 得出結論; ④ 由相似三角形 的判定定理得 出 △ DHG∽ △ BDH, 根據相似三角 形的對應邊成 比例即可得出 結論. 解:作 EJ⊥ BD 于 J,連接 EF ① ∵ BE 平分 ∠ DBC ∴ EC=EJ, ∴ △ DJE≌ △ ECF ∴ DE=FE

解答:

∴ ∠ HEF=45°+22. 5°=67.5° ∴ ∠ HFE= 22.5° ∴ ∠ EHF=180°﹣ 67.5°﹣ 22.5°=90° ∵ DH=HF,OH 是△ DBF 的中位 線 ∴ OH∥ BF ∴ OH= BF ② ∵ 四邊形 ABCD 是正方 形, BE 是∠ DBC 的平分線, ∴ BC=CD, ∠ BCD=∠ DCF, ∠ EBC=22.5°, ∵ CE=CF, ∴ Rt△ BCE≌ Rt△ D CF, ∴ ∠ EBC=∠ CDF= 22.5°, ∴ ∠ BFH=90°﹣ ∠ CDF=90°﹣ 22.5°=67.5°, ∵ OH 是△ DBF 的 中位線, CD⊥ AF, ∴ OH 是 CD 的垂 直平分線, ∴ DH=CH, ∴ ∠ CDF=∠ DCH= 22.5°, ∴ ∠ HCF=90°﹣ ∠ DCH=90°﹣ 22.5°=67.5°, ∴ ∠ CHF=180°﹣ ∠ HCF﹣ ∠ BFH=180°﹣ 67.5°﹣ 67.5°=45°,故② 正確; ③ ∵ OH 是△ BFD 的中位線, =

∴ DG=CG= BC ,GH= CF, ∵ CE=CF, ∴ GH= CF= C E ∵ CE< CG= BC, ∴ GH< BC,故 此結論不成立; ④ ∵ ∠ DBE=45°, BE 是∠ DBF 的 平分線, ∴ ∠ DBH=22.5°, 由② 知 ∠ HBC=∠ CDF=2 2.5°, ∴ ∠ DBH=∠ CDF, ∵ ∠ BHD=∠ BHD, ∴ △ DHE∽ △ BHD, ∴ = ∴ DH=HE?HB, 故④ 成立; 所以① ② ④ 正確. 故選 C.

點評:

解答此題的關 鍵是作出輔助 線,構造等腰直 角三角形,利用 等腰直角三角 形的性質結合 角平分線的性 質逐步解答.

15. (2011?金平區二模)如圖,△ ABC 與△ AFG 是兩個全等的等腰直角三角形,∠ BAC=∠ F=90°,BC 分別與 AF,AG 相交于點 D,E.則圖中不全等的相似三角形有( )

A.0 對 考點:

B.1 對 相似三角形的 判定;等腰直角 三角形. 幾何圖形問題; 壓軸題. 根據已知及相 似三角形的判 定方法進行分 析,從而得到答 案. 解:∵ △ ABC 與 △ AFG 是兩個全 等的等腰直角 三角形, ∠ BAC=∠ F=90° ∴ ∠ C=∠ B=∠ FAG =∠ G=45° ∵ ∠ CEA=∠ B+∠ E
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C.2 對

D.3 對

專題: 分析:

解答:

AB, ∠ DAB=∠ FAG+∠ EAB ∴ ∠ CEA=∠ BAD, 又∵ AC=BC, ∴ △ CAE≌ △ BAD; ∴ △ BDA∽ △ ADE; ∴ △ CAE∽ △ ADE; ∴ 圖中不全等的 相似三角形有 2 對. 故選:C.

點評:

此題考查了相 似三角形的判 定: ① 如果兩個三角 形的三組對應

邊的比相等,那 么這兩個三角 形相似; ② 如果兩個三角 形的兩條對應 邊的比相等,且 夾角相等,那么 這兩個三角形 相似; ③ 如果兩個三角 形的兩個對應 角相等,那么這 兩個三角形相 似.平行于三角 形一邊的直線 截另兩邊或另 兩邊的延長線 所組成的三角 形與原三角形 相似. 二、填空題(共 8 小題) (除非特別說明,請填準確值) 16. (2012?舟山)如圖,在 Rt△ ABC 中,AB=BC,∠ ABC=90°,點 D 是 AB 的中點,連接 CD,過點 B 作 BG⊥ CD, 分別交 CD,CA 于點 E,F,與過點 A 且垂直于 AB 的直線相交于點 G,連接 DF,給出以下五個結論: ① = ;② ∠ ADF=∠ CDB;③ 點 F 是 GE 的中點;④ AF= AB;⑤ S△ABC=5S△BDF,

其中正確結論的序號是 ① ② ④ .

考點:

專題: 分析:

相似三角形的 判定與性質;全 等三角形的判 定與性質;等腰 直角三角形. 壓軸題. 由 △ AFG∽ △ BFC, 可確定結論① 正 確; 由 △ ABG≌ △ BCD, △ AFG≌ △ AFD,
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可確定結論② 正 確; 由△ AFG≌ △ AFD 可得 FG=FD> FE, 所以點 F 不 是 GE 中點,可 確定結論③ 錯 誤; 由△ AFG≌ △ AFD 可得 AG= AB= BC ,進而由 △ AFG∽ △ BFC 確 定點 F 為 AC 的 三等分點,可確 定結論④ 正確; 因為 F 為 AC 的 三等分點,所以 S△ABF= S△ABC, 又 S△BDF= S△ABF, 所以 S△ABC=6S△BDF, 由此確定結論⑤ 錯誤. 解:依題意可得 BC∥ AG, ∴ △ AFG∽ △ BFC, ∴ ,

解答:

又 AB=BC, ∴ .

故結論① 正確; 如右圖, ∵ ∠ 1+∠ 3=90°, ∠ 1+∠ 4=90°, ∴ ∠ 3=∠ 4. 在△ ABG 與 △ BCD 中,

, ∴ △ ABG≌ △ BCD (ASA) ,

∴ AG=BD,又 BD=AD, ∴ AG=AD; 在△ AFG 與 △ AFD 中,

, ∴ △ AFG≌ △ AFD (SAS) , ∴ ∠ 5=∠ 2, 又 ∠ 5+∠ 3=∠ 1+∠ 3=9 0°,∴ ∠ 5=∠ 1, ∴ ∠ 1=∠ 2,即 ∠ ADF=∠ CDB. 故結論② 正確; ∵ △ AFG≌ △ AFD, ∴ FG=FD,又 △ FDE 為直角三 角形,∴ FD> FE, ∴ FG>FE,即點 F 不是線段 GE 的中點. 故結論③ 錯誤; ∵ △ ABC 為等腰 直角三角形, ∴ AC= AB; ∵ △ AFG≌ △ AFD, ∴ AG=AD= AB = BC; ∵ △ AFG∽ △ BFC, ∴ ,

∴ FC=2AF, ∴ AF= AC= AB. 故結論④ 正確; ∵ AF= AC, ∴ S△ABF= S△ABC ;又 D 為中點,

∴ S△BDF= S△ABF , ∴ S△BDF= S△ABC ,即 S△ABC=6S△BDF. 故結論⑤ 錯誤. 綜上所述,結論 ① ② ④ 正確, 故答案為:① ② ④ .

點評:

本題考查了等 腰直角三角形 中相似三角形 與全等三角形 的應用,有一定 的難度.對每一 個結論,需要仔 細分析,嚴格論 證;注意各結論 之間并非彼此 孤立,而是往往 存在邏輯關聯 關系,需要善加 利用.

17.如圖,直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ BAC=∠ ADC=90°,AB=AC,CE 平分∠ ACB 交 AB 于點 E,F 為 BC 上一 點,BF=AE,連接 AF 交 CE 于點 G,連接 DG 交 AC 于點 H.下列結論: ① AF⊥ CE;② △ ABF∽ △ DGA;③ AF= 其中正確的結論有 ① ② ③ ④ . DH;④ .

考點:

專題:

相似三角形的 判定與性質;直 角梯形. 壓軸題.
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分析:

先判斷出△ ABC 是等腰直角三 角形, 過點 E 作 EF′ ⊥ BC 于 F′ , 根據角平分線 上的點到角的 兩邊的距離相 等可得 AE=EF′ ,再根 據等腰直角三 角形的性質可 得 BF′ =EF′ , 從 而確定點 F、F′ 重合,再利用 “HL”證明△ ACE 和△ FCE 全等, 根據全等三角 形對應邊相等 可得 AC=CF, 根據等腰三角 形三線合一的 可得 AF⊥ CE, 判 斷出① 正確;求 出 ∠ AFC=∠ FAC=6 7.5°,再求出 ∠ DAG=∠ AFB=1 12.5°, ∠ BAF=∠ ACE=2 2.5°,再根據點 A、G、C、D 四 點共圓得到 ∠ ADG=∠ ACE, 然后利用兩組 角對應相等,兩 三角形相似判 斷出② 正確;求 出△ ACF 和 △ HCD 相似,利 用相似三角形 對應邊成比例 列式求解即可 得到 AF= DH,判 斷出③ 正確;根 據 S 四邊形 ADCG=S△ ACG+S△ ADC,利用三角 形的面積列出

解答:

整理成 AF?DG 的形式,再把 AF 用 DG 表示, 然后代入進行 計算即可判斷④ 正確. 解: ∵ ∠ BAC=∠ ADC= 90°,AB=AC, ∴ △ ABC 是等腰 直角三角形, 過點 E 作 EF′ ⊥ BC 于 F′ , 則△ BEF′ 是等腰 直角三角形, ∴ BF′ =EF′ , ∵ CE 平分 ∠ ACB, ∴ AE=EF′ , ∴ AE=BF′ , ∵ BF=AE, ∴ BF=BF′ , ∴ 點 F、F′ 重合, 在△ ACE 和 △ FCE 中, , ∴ △ ACE≌ △ FCE (HL) , ∴ AC=CF, ∵ CE 平分 ∠ ACB, ∴ AF⊥ CE, 故① 正 確; ∵ ∠ AFC=∠ FAC= 90°﹣ ×45°=67.5°, ∴ ∠ DAG=∠ AFB= 112.5°, ∠ BAF=∠ ACE= ×45°=22.5°, ∵ ∠ AGC=90°, ∠ ADC=90°, ∴ 點 A、G、C、 D 四點共圓, AC 是直徑,

∴ ∠ ADG=∠ ACE= 22.5°, ∴ ∠ ADG=∠ BAF, ∴ △ ABF∽ △ DGA, 故② 正確; ∵ ∠ CDH=90°﹣ ∠ ADG=90°﹣ 22.5°=67.5°, ∴ ∠ CDH=∠ FAC= 67.5°, 又 ∵ ∠ ACF=∠ ACD= 45°, ∴ △ ACF∽ △ HCD, ∴ = ,

∵ △ ACD 中, ∠ ACD=90°﹣ 45°=45°, ∠ ADC=90°, ∴ △ ACD 是等腰 直角三角形, ∴ AC= CD, ∴ AF= DH, 故 ③ 正確; ∵ ∠ GDC=∠ GCD =90°﹣ 22.5°=67.5°, ∴ DG=CG, ∵ △ ABF∽ △ DGA, ∴ = ,

∴ AF?DG=AD? AB=AD? AD 2 = AD , ∴ AD = G, S 四邊形 ADCG=S△ ACG+S△ ADC, = AG?CG+ A D?CD, = × AF?DG+
2

AF?D

× =

AF?DG, AF?DG

, ∵ DG=DH+GH= DH+AG= + AF= F, ∴ AF= , ∴ S 四邊形
ADCG=

AF A

DG

× DG?DG=

DG ,故④ 正 確. 綜上所述,正確 的結論有① ② ③ ④ . 故答案為: ① ② ③ ④ .

2

點評:

本題考查了相 似三角形的判 定與性質,等腰 直角三角形的 判定與性質,全 等三角形的判 定與性質,直角 梯形,根據角的 度數 22.5°和 67.5°求出相等 的角是解題的 關鍵,也是本題 的難點.

18. (2012?瀘州)如圖,n 個邊長為 1 的相鄰正方形的一邊均在同一直線上,點 M1,M2,M3,…Mn 分別為邊 B1B2, B2B3,B3B4,…,BnBn+1 的中點,△ B1C1M1 的面積為 S1,△ B2C2M2 的面積為 S2,…△ BnCnMn 的面積為 Sn,則 Sn= . (用含 n 的式子表示)

考點: 專題: 分析:

相似三角形的 判定與性質. 壓軸題;規律 型. 由 n 個邊長為 1 的相鄰正方形 的一邊均在同 一直線上,點
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M1,M2, M3,…Mn 分別 為邊 B1B2, B2B3, B3B4, …, BnBn+1 的中點, 即可求得 △ B1C1Mn 的面 積,又由 BnCn∥ B1C1,即 可得 △ BnCnMn∽ △ B1C M ,然后利用 1 n 相似三角形的 面積比等于相 似比的平方,求 得答案. 解: ∵ n 個邊長為 1 的相鄰正方形 的一邊均在同 一直線上,點 M1,M2, M3,…Mn 分別 為邊 B1B2, B2B3, B3B4, …, BnBn+1 的中點, ∴ S1= ×B1C1×B
1M1=

解答:

×1× =

, S△B1C1M2= ×B1 C1×B1M2= ×1× = , S△B1C1M3= ×B1 C1×B1M3= ×1× = , S△B1C1M4= ×B1 C1×B1M4= ×1× = , S△B1C1Mn= ×B1 C1×B1Mn= ×1× = , ∵ BnCn∥ B1C1, ∴ △ BnCnMn∽ △ B1 C1Mn, ∴ S△BnCnMn: S△B1C1Mn= ( )=
2



),

2

即 Sn: = , ∴ Sn= . 故答案為:

. 點評: 此題考查了相 似三角形的判 定與性質、正方 形的性質以及 直角三角形面 積的公式.此題 難度較大,注意 掌握相似三角 形面積的比等 于相似比的平 方定理的應用 是解此題的關 鍵.

19.如圖,在直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ B=90°,E 為 AB 上一點,且 ED 平分∠ ADC,EC 平分∠ BCD,則下列 結論:① DE⊥ EC;② 點 E 是 AB 中點;③ AD?BC=BE?DE;④ CD=AD+BC.其中正確的有 ① ② ④ .

考點:

專題: 分析:

解答:

相似三角形的 判定與性質;全 等三角形的判 定與性質;直角 梯形. 壓軸題. 根據直角梯形、 等腰三角形的 判定與性質以 及全等三角形 的判定與性質 進行分析、判 斷,并作出正確 的選擇. 解: ① : ∵ AD∥ BC, ∠ ADC+∠ BCD=1 80° ∵ ED 平分 ∠ ADC, EC 平分 ∠ BCD, ∴ ∠ ADE=∠ CDE, ∠ DCE=BCE
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∴ ∠ DCE+∠ CDE= 90° ∴ DE⊥ EC; 故本選項正確; ② 延長 DE 交 CB 的延長線于點 F. ∵ AD∥ BC,DE 是∠ ADC 的角平 分線, ∴ ∠ CDF=∠ ADE= ∠ DFC, ∴ CD=CF, ∴ △ CDF 是等腰 三角形; 又由① 知 DE⊥ EC, ∴ DE=FE, 又 ∵ ∠ AED=∠ BEF, ∴ △ BEF≌ △ AED, ∴ AE=EB, ∴ 點 E 是 AB 的 中點; 故本選項正確; ③ 由② 知, △ BEF≌ △ AED, ∴ △ BEF∽ △ AED, ∴ AD?BC=BE?A E 故本選項錯誤; ④ ∵ △ BEF≌ △ AED , ∴ AD=BF; 又∵ CD=CF, ∴ CD=AD+BC; 故本選項正確; 綜上所述,① ② ④ 正確; 故答案是:① ② ④ .

點評:

本題主要考查 了直角梯形的 性質、全等三角 形的判定與性 質、相似三角形 的判定與性 質.解答該題 時,利用了平行 線、角平分線以 及等腰三角形 的性質.

20. (2011?盤錦)如圖,在正方形 ABCD 中,點 E、F 分別為 AD、AB 的中點,連接 DF、CE,DF 與 CE 交于點 H, 則下列結論:① DF⊥ CE;② DF=CE;③ = ;④ = .其中正確結論的序號有 ① ② ③ .

考點:

專題: 分析:

正方形的性質; 全等三角形的 判定與性質;相 似三角形的判 定與性質. 壓軸題. 利用正方形的 性質和已知條 件可判定 Rt△ DAF≌ Rt△ DC E,有全等可判 斷① ② 是否正確, 再利用相似三 角形的判定方 法證明 △ DHE∽ △ DAF, 由相似三角形 的性質可判斷 ③ ④ 是否正確,進 而可知正確結
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解答:

論的序號. 解:∵ 四邊形 ABCD 是正方 形, ∴ AB=BC=CD= DA, ∠ A=∠ B=∠ ADC= ∠ DCB=90°, ∵ 點 E、 F 分別為 AD、AB 的中 點, ∴ DE=AE, ∴ Rt△ DAF≌ Rt△ D CE, ∴ DF=CE,故② 正確; ∠ DEC=∠ DFA, ∵ ∠ DFA+∠ FDA= 90°, ∴ ∠ DEC+∠ FDA= 90°, ∴ ∠ DHE=90°, 即 DF⊥ CE,故① 正確; ∵ ∠ EDH=∠ FDA, ∠ A=∠ DHE=90°, ∴ △ DHE∽ △ DAF, ∵ ,

∵ AB=BC=CD= DA,DF=CE, ∴ 正確; ∵ , , ∴ ,故④ ,故③

點評:

不正確. 故答案為① ② ③ . 本題考查了正 方形的性質:四 條邊相等,四個 角都是直角和 全等三角形的 判定以及全等 三角形的性質;

同時還考查了 相似三角形的 判定以及相似 三角形的性質; 難度不大,綜合 性不小.是一道 考查學生基本 能力不錯的題 目. 21. (2011?內江)在直角坐標系中,正方形 A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1 按如圖所示的方式放置,其中 點 A1、A2、A3、…、An 均在一次函數 y=kx+b 的圖象上,點 C1、C2、C3、…、Cn 均在 x 軸上.若點 B1 的坐標為(1, n﹣1 n﹣1 1) ,點 B2 的坐標為(3,2) ,則點 An 的坐標為 (2 ﹣1,2 ) .

考點:

一次函數綜合 題;相似三角形 的判定與性質.
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專題: 分析:

解答:

壓軸題;規律 型. 首先求得直線 的解析式,分別 求得 A1,A2, A3…的坐標,可 以得到一定的 規律,據此即可 求解. 解:∵ B1 的坐標 為(1,1) ,點 B2 的坐標為 (3, 2) , ∴ 正方形 A1B1C1O1 邊長 為 1,正方形 A2B2C2C1 邊長 為 2, ∴ A1 的坐標是 (0,1) ,A2 的 坐標是: (1, 2) , 代入 y=kx+b 得 ,

解得:



則直線的解析 式是:y=x+1. ∵ A1B1=1,點 B2 的坐標為(3, 2) , ∴ A1 的縱坐標是 1,A2 的縱坐標 是 2. 在直線 y=x+1 中,令 x=3,則 縱坐標是: 2 3+1=4=2 ; 則 A4 的橫坐標 是:1+2+4=7, 則 A4 的縱坐標 3 是:7+1=8=2 ; 據此可以得到 An 的縱坐標是: n﹣1 2 , 橫坐標是: n﹣1 2 ﹣1. 故點 An 的坐標 n﹣1 為 (2 ﹣1, n﹣1 2 ) . n﹣ 故答案是: (2 ﹣ 1 n 1 ﹣1,2 ) . 本題主要考查 了待定系數法 求函數解析式, 正確得到點的 坐標的規律是 解題的關鍵.

點評:

22. (2010?淮安)已知菱形 ABCD 中,對角線 AC=8cm,BD=6cm,在菱形內部(包括邊界)任取一點 P,得到△ ACP 并涂成黑色,使黑色部分的面積大于 6cm 的概率為
2



考點:

專題:

幾何概率;菱形 的性質;相似三 角形的判定與 性質. 壓軸題.
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分析:

讓黑色部分的 面積大于 6cm 的面積數除以 總面積數即為 所求的概率. 解:易得 BD 的 一半為 3cm; ∵ AC=8cm, ∴ 當黑色部分的 2 面積等于 6cm 時, ∴ 高應等于 1.5cm, 那么在△ ACD 里,使黑色部分 的面積大于 6cm 的點 P 在 平行于 AC 且到 直線 AC 的距離 大于 1.5cm 且與 AD, CD 相交的 三角形內,
2 2

解答:

根據相似三角 形的知識可得 黑色部分的面 2 積大于 6cm 的 三角形面積占 △ ACD 的面積的 , 所以概率為 . 點評: 用到的知識點 為:概率=相應 的面積與總面 積之比.

23. (2010?江津區)已知:在面積為 7 的梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AD=3,BC=4,P 為邊 AD 上不與 A、D 重合的 一動點,Q 是邊 BC 上的任意一點,連接 AQ、DQ,過 P 作 PE∥ DQ 交 AQ 于 E,作 PF∥ AQ 交 DQ 于 F,則△ PEF 面 積最大值是 .

考點:

專題: 分析:

解答:

二次函數的最 值;三角形的面 積;梯形;相似 三角形的判定 與性質. 壓軸題;動點 型. 設 PD=x, S△PEF=y. 根據平 行線的性質、全 等三角形的判 定及相似三角 形的判定,證明 △ PEF≌ △ QFE、 △ AEP∽ △ AQD、 △ PDF∽ △ ADQ, 相似三角形的 面積比是相似 比的平方,再由 三角形 AQD 與 梯形 ABCD 的 面積公式求得 梯形的高,代入 S△PEF=(S△AQD ﹣S△DPF﹣ S△APE)÷2,得 出關于 x 的二次 函數方程,根據 頂點坐標公式, 求得則△ PEF 面 積最大值. 解:設 PD=x, S△PEF=y, S△AQD=z,梯形 ABCD 的高為 h, ∵ AD=3,BC=4, 梯形 ABCD 面 積為 7, ∴
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解得 ∵ PE∥ DQ, ∴ ∠ PEF=∠ QFE, ∠ EPF=∠ PFD, 又∵ PF∥ AQ, ∴ ∠ PFD=∠ EQF, ∴ ∠ EPF=∠ EQF, ∵ EF=FE, ∴ △ PEF≌ △ QFE (AAS) , ∵ PE∥ DQ, ∴ △ AEP∽ △ AQD, 同理, △ DPF∽ △ DAQ, ∴ =



= ( ), ∵ S△AQD=3, ∴ S△DPF= x , S△APE= (3﹣x)
2 2

2

, ∴ S△PEF=(S△AQD ﹣S△DPF﹣ S△APE)÷2, ∴ y=[3﹣ x ﹣ (3﹣x) ]× = ﹣ x +x, ∵ y 最大值 =
2 2 2

= ,即 y 最大值

= . ∴ △ PEF 面積最 大值是 .

點評:

本題綜合考查 了二次函數的 最值、三角形的 面積、梯形的面 積以及相似三 角形的判定與 性質.

三、解答題(共 7 小題) (選答題,不自動判卷) 2 24. (2011?營口)如圖(1) ,直線 y=﹣x+3 與 x 軸、y 軸分別交于點 B、點 C,經過 B、C 兩點的拋物線 y=x +bx+c 與 x 軸的另一個交點為 A,頂點為 P. (1)求該拋物線的解析式; (2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點 M,使以 C、P、M 為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請直接寫出所 有符合條件的點 M 的坐標;若不存在,請說明理由; (3)連接 AC,在 x 軸上是否存在點 Q,使以 P、B、Q 為頂點的三角形與△ ABC 相似?若存在,請求出點 Q 的坐 標;若不存在,請說明理由; (4)當 0<x<3 時,在拋物線上求一點 E,使△ CBE 的面積有最大值. (圖(2) 、圖(3)供畫圖探究)

考點:

專題:

二次函數綜合 題;二次函數的 最值;待定系數 法求二次函數 解析式;三角形 的面積;等腰三 角形的判定;相 似三角形的判 定. 壓軸題.
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分析:

(1)把 B、C 的坐標代入拋 物線,得出方程 組,求出方程組 的解即可; (2)求出 C、P 的坐標, 求出 PC 的值,PC 是腰 時,有 3 個點, PC 是底時, 有1 個點,根據 PC 的值求出即可; (3)連接 BP, 根據相似得出 比例式 和 = = , 代入

求出 BQ 即可; (4)連接 CE、 BE,經過點 E 作 x 軸的垂線 FE,交直線 BC 于點 F,設點 F (x,﹣x+3) , 點 E(x,x ﹣ 4x+3) ,推出 EF=﹣x +3x, 根 據 S△CBE=S△CEF+S△
BEF= 2 2

EF?OB 代

解答:

入求出即可. 解: (1) 由已知, 得 B(3,0) ,C (0,3) , ∴ 解得 , ,

∴ 拋物線解析式 2 為 y=x ﹣4x+3; (2)∵ y=x ﹣ 2 4x+3=(x﹣2) ﹣1, ∴ 對稱軸為 x=2, 頂點坐標為 P (2,﹣1) ,
2

∴ 滿足條件的點 M 分別為 M1 (2, 7) , M2 (2, 2 ﹣1) ,M3 (2, ) , M4 (2, ﹣2 ﹣1) ;

(3)由(1) , 得 A(1,0) , 連接 BP, ∵ ∠ CBA=∠ ABP= 45°, ∴ 當 = 時,

△ ABC∽ △ PBQ, ∴ BQ=3. ∴ Q1(0,0) , ∴ 當 = 時,

△ ABC∽ △ QBP, ∴ BQ= . ∴ Q′ ( ,0) .

(4) 當 0<x<3 時,在此拋物線 上任取一點 E, 連接 CE、BE, 經過點 E 作 x 軸 的垂線 FE,交 直線 BC 于點 F, 設點 F(x,﹣ x+3) ,點 E(x, 2 x ﹣4x+3) , 2 ∴ EF=﹣x +3x, ∴ S△CBE=S△CEF+ S△BEF= EF?OB , = ﹣ x + x, =﹣ (x﹣ )
2 2

+



∵ a=﹣ <0,

∴ 當 x= 時, S△CBE 有最大 值, 2 ∴ y=x ﹣4x+3= ﹣ , ∴ E( ,﹣ ) .

點評:

本題綜合考查 了二次函數的 綜合,二次函數 的最值,相似三 角形的性質和 判定,等腰三角 形性質,用待定 系數法求二次 函數的解析式, 三角形的面積 等知識點的應 用,此題難度偏 大,對學生提出 較高的要求,綜 合性比較強.

25. (2011?莆田)已知菱形 ABCD 的邊長為 1.∠ ADC=60°,等邊△ AEF 兩邊分別交邊 DC、CB 于點 E、F. (1)特殊發現:如圖 1,若點 E、F 分別是邊 DC、CB 的中點.求證:菱形 ABCD 對角線 AC、BD 交點 O 即為等 邊△ AEF 的外心; (2)若點 E、F 始終分別在邊 DC、CB 上移動.記等邊△ AEF 的外心為點 P. ① 猜想驗證:如圖 2.猜想△ AEF 的外心 P 落在哪一直線上,并加以證明; ② 拓展運用:如圖 3,當△ AEF 面積最小時,過點 P 任作一直線分別交邊 DA 于點 M,交邊 DC 的延長線于點 N,試 判斷 是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

考點:

專題: 分析:

相似三角形的 判定與性質;全 等三角形的判 定與性質;等邊 三角形的性質; 菱形的性質;三 角形的外接圓 與外心. 壓軸題. (1)首先分別 連接 OE、0F, 由四邊形 ABCD 是菱形, 即可得 AC⊥ BD,BD 平 分 ∠ ADC.AO=D C=BC,又由 E、 F 分別為 DC、 CB 中點,即可 證得 0E=OF=OA,則 可得點 O 即為 △ AEF 的外心; (2)① 首先分別 連接 PE、PA, 過點 P 分別作 PI⊥ CD 于 I, PJ⊥ AD 于 J,即 可求得∠ IPJ 的 度數,又由點 P 是等邊△ AEF 的 外心,易證得 △ PIE≌ △ PJA,可 得 PI=PJ,即點 P 在∠ ADC 的平 分線上,即點 P 落在直線 DB
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上. ② 當 AE⊥ DC 時.△ AEF 面積 最小, 此時點 E、 F 分別為 DC、 CB 中點.連接 BD、AC 交于點 P,由(1)可得 點 P 即為△ AEF 的外心.由 △ GBP∽ △ MDP, 即可 為

解答:

定值 2. (1)證明:如 圖 1,分別連接 OE、0F, ∵ 四邊形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥ BD,BD 平分 ∠ ADC.AD=D C=BC, ∴ ∠ COD=∠ COB= ∠ AOD=90°. ∠ ADO= ∠ ADC = ×60°=30°, 又∵ E、F 分別為 DC、CB 中點, ∴ OE= CD, OF= BC, AO= AD, ∴ 0E=OF=OA, ∴ 點 O 即為 △ AEF 的外心. (2) 解: ① 猜想: 外心 P 一定落在 直線 DB 上. 證明:如圖 2, 分別連接 PE、 PA, 過點 P 分別 作 PI⊥ CD 于 I, PJ⊥ AD 于 J,

∴ ∠ PIE=∠ PJD=90 °, ∵ ∠ ADC=60°, ∴ ∠ IPJ=360°﹣ ∠ PIE﹣∠ PJD﹣ ∠ JDI=120°, ∵ 點 P 是等邊 △ AEF 的外心, ∴ ∠ EPA=120°, PE=PA, ∴ ∠ IPJ=∠ EPA, ∴ ∠ IPE=∠ JPA, ∴ △ PIE≌ △ PJA, ∴ PI=PJ, ∴ 點 P 在∠ ADC 的平分線上,即 點 P 落在直線 DB 上. ② 為定值

2. 當 AE⊥ DC 時.△ AEF 面積 最小, 此時點 E、F 分 別為 DC、 CB 中 點. 連接 BD、 AC 交 于點 P,由(1) 可得點 P 在 BD 上,即為△ AEF 的外心. 如圖 3.設 MN 交 BC 于點 G, 設 DM=x, DN=y (x≠0.y≠O) , 則 CN=y﹣1, ∵ BC∥ DA, ∴ △ GBP≌ △ MDP. ∴ BG=DM=x. ∴ CG=1﹣x ∵ BC∥ DA, ∴ △ NCG∽ △ NDM , ∴ ∴ ∴ x+y=2xy, , ,

∴ + =2, 即 =2.

點評:

此題考查了相 似三角形的判 定與性質,三角 形的外心的判 定與性質,以及 菱形的性質等 知識.此題綜合 性很強,圖形也 比較復雜,解題 的關鍵是方程 思想與數形結 合思想的應用.

26. (2011?鹽城)情境觀察 將矩形 ABCD 紙片沿對角線 AC 剪開,得到△ ABC 和△ A′ C′ D,如圖 1 所示.將△ A′ C′ D 的頂點 A′ 與點 A 重合,并 繞點 A 按逆時針方向旋轉,使點 D、A(A′ ) 、B 在同一條直線上,如圖 2 所示. 觀察圖 2 可知:與 BC 相等的線段是 AD ,∠ CAC′ = 90 °.

問題探究 如圖 3,△ ABC 中,AG⊥ BC 于點 G,以 A 為直角頂點,分別以 AB、AC 為直角邊,向△ ABC 外作等腰 Rt△ ABE 和等 腰 Rt△ ACF,過點 E、F 作射線 GA 的垂線,垂足分別為 P、Q.試探究 EP 與 FQ 之間的數量關系,并證明你的結論. 拓展延伸 如圖 4,△ ABC 中,AG⊥ BC 于點 G,分別以 AB、AC 為一邊向△ ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF,射線 GA 交 EF 于點 H.若 AB=kAE,AC=kAF,試探究 HE 與 HF 之間的數量關系,并說明理由.

考點:

專題: 分析:

相似三角形的 判定與性質;全 等三角形的判 定與性質;等腰 直角三角形;矩 形的性質. 幾何綜合題;壓 軸題. ① 觀察圖形即可 發現 △ ABC≌ △ AC′ D, 即可解題; ② 易證 △ AEP≌ △ BAG, △ AFQ≌ △ CAG, 即可求得 EP=AG, FQ=AG, 即可解
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解答:

題; ③ 過點 E 作 EP⊥ GA, FQ⊥ GA, 垂足分 別為 P、Q.根 據全等三角形 的判定和性質 即可解題. 解:① 觀察圖形 即可發現 △ ABC≌ △ AC′ D, 即 BC=AD, ∠ C′ AD=∠ ACB, ∴ ∠ CAC′ =180° ﹣∠ C′ AD﹣ ∠ CAB=90°; 故答案為:AD, 90. ② FQ=EP, 理由如下: ∵ ∠ FAQ+∠ CAG= 90°, ∠ FAQ+∠ AFQ=9 0°, ∴ ∠ AFQ=∠ CAG, 同理 ∠ ACG=∠ FAQ, 又∵ AF=AC, ∴ △ AFQ≌ △ CAG, ∴ FQ=AG, 同理 EP=AG, ∴ FQ=EP. ③ HE=HF. 理由: 過點 E 作 EP⊥ GA, FQ⊥ GA, 垂足分 別為 P、Q. ∵ 四邊形 ABME 是矩形, ∴ ∠ BAE=90°, ∴ ∠ BAG+∠ EAP= 90°, 又 AG⊥ BC, ∴ ∠ BAG+∠ ABG =90°, ∴ ∠ ABG=∠ EAP. ∵ ∠ AGB=∠ EPA=

90°, ∴ △ ABG∽ △ EAP, ∴ AG:EP=AB: EA. 同理 △ ACG∽ △ FAQ, ∴ AG:FQ=AC: FA. ∵ AB=k?AE, AC=k?AF, ∴ AB:EA=AC: FA=k, ∴ AG:EP=AG: FQ. ∴ EP=FQ. 又 ∵ ∠ EHP=∠ FHQ, ∠ EPH=∠ FQH, ∴ Rt△ EPH≌ Rt△ F QH(AAS) . ∴ HE=HF.

點評:

本題考查了全 等三角形的證 明,考查了全等 三角形對應邊 相等的性質,考 查了三角形內 角和為 180°的 性質,考查了等 腰三角形腰長 相等的性質,本 題中求證 △ AFQ≌ △ CAG 是 解題的關鍵.

27. (2011?義烏市)如圖 1,在等邊△ ABC 中,點 D 是邊 AC 的中點,點 P 是線段 DC 上的動點(點 P 與點 C 不重 合) ,連接 BP.將△ ABP 繞點 P 按順時針方向旋轉 α 角(0°<α<180°) ,得到△ A1B1P,連接 AA1,射線 AA1 分別交 射線 PB、射線 B1B 于點 E、F. (1)如圖 1,當 0°<α<60°時,在 α 角變化過程中,△ BEF 與△ AEP 始終存在 相似 關系(填“相似”或“全等”) , 并說明理由;

(2)如圖 2,設∠ ABP=β.當 60°<α<180°時,在 α 角變化過程中,是否存在△ BEF 與△ AEP 全等?若存在,求出 α 與 β 之間的數量關系;若不存在,請說明理由; (3)如圖 3,當 α=60°時,點 E、F 與點 B 重合.已知 AB=4,設 DP=x,△ A1BB1 的面積為 S,求 S 關于 x 的函數 關系式.

考點:

專題: 分析:

解答:

相似三角形的 判定與性質;全 等三角形的判 定與性質;等邊 三角形的判定 與性質;旋轉的 性質. 綜合題;壓軸 題. (1)通過證明 ∠ PAE=∠ EBF, 結 合公共角證明 即可; (2)根據 AA 易得: △ BEF∽ △ AEP, 結 合一組對應邊 相等的相似圖 形全等,最后根 據全等三角形 的性質可知; (3)連接 BD, 交 A1B1 于點 G, 過點 A1 作 A1H⊥ AC 于點 H.根據三角形 的面積公式可 得 S 關于 x 的函 數關系式. 解: ( 1) 相似 (1 分) 由題意得:
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∠ APA1=∠ BPB1= α,AP=A1P, BP=B1P,

則 ∠ PAA1=∠ PBB1=

, (2 分) ∵ ∠ PBB1=∠ EBF, ∴ ∠ PAE=∠ EBF, 又 ∵ ∠ BEF=∠ AEP, ∠ EBF=∠ EAP, ∴ △ BEF∽ △ AEP; (3 分) (2)存在,理 由如下: (4 分) ∵ ∠ PAE=∠ EBF, ∠ AEP=∠ BEF, ∴ △ BEF∽ △ AEP, 若要使得 △ BEF≌ △ AEP, 只 需要滿足 BE=AE 即可, (5 分) ∴ ∠ BAE=∠ ABE, ∵ ∠ BAC=60°, ∴ ∠ BAE=

, ∵ ∠ ABE=β, ∠ BAE=∠ ABE, (6 分) ∴

, 即 α=2β+60°; (7 分) (3)連接 BD, 交 A1B1 于點 G, 過點 A1 作 A1H⊥ AC 于點 H. ∵ ∠ B1A1P=∠ A1P A=60°, ∴ A1B1∥ AC, 由題意得: AP=A1P=2+x,

∠ A=60°, ∴ △ PAA1 是等邊 三角形, ∴ A1H=sin60°A1 P= , (8 分) 在 Rt△ ABD 中, BD= , ∴ BG=

, (9 分) ∴

(0≤x<2) . (10 分)

點評:

此題主要考查 了等邊三角形 的性質、相似三 角形的判定與 性質及全等三 角形的判定及 性質;利用等邊 三角形的性質 去探究相似三 角形和全等三 角形,利用相似 三角形和全等 三角形的性質 解決題目的圖 形變換規律是 非常重要的,要 注意掌握.

28. (2011?欽州)如圖,AB 為⊙ O 的直徑,C 為⊙ O 上一點,AD 和過 C 點的切線互相垂直,垂足為 D. (1)求證:AC 平分∠ DAB; (2)過點 O 作線段 AC 的垂線 OE,垂足為 E(要求:尺規作圖,保留作圖痕跡,不寫作法) ; (3)若 CD=4,AC=4 ,求垂線段 OE 的長.

考點:

專題: 分析:

解答:

切線的性質;勾 股定理;相似三 角形的判定與 性質. 壓軸題. (1)連接 OC.根據切線 性質可證 OC∥ AD; 根據等 腰三角形性質 可證 AC 平分 ∠ DAB; (2)基本作圖: 作線段垂直平 分線. (3) 證明△ AEO 與△ ADC 相似, 得比例線段求 解. (1)證明:連 接 OC. ∵ CD 切⊙ O 于點 C, ∴ OC⊥ CD. 又∵ AD⊥ CD, ∴ OC∥ AD. ∴ ∠ OCA=∠ DAC. ∵ OC=OA, ∴ ∠ OCA=∠ OAC. ∴ ∠ OAC=∠ DAC. ∴ AC 平分 ∠ DAB.
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(2)解:如圖 所示. (3)解:在 Rt△ ACD 中, CD=4, AC=4 , ∴ AD=

=

=8. ∵ OE⊥ AC, ∴ AE=2 . ∵ ∠ OAE=∠ CAD, ∠ AEO=∠ ADC, ∴ △ AEO∽ △ ADC, ∴ ∴ OE= .

. 即垂線段 OE 的 長為 .

點評:

此題考查切線 的性質、尺規作 線段的垂直平 分線、相似三角 形的判定與性 質等知識點,綜 合性較強,難度 較大.

29. (2011?西寧)如圖,BD 為⊙ O 的直徑,AB=AC,AD 交 BC 于點 E,AE=2,ED=4, (1)求證:△ ABE∽ △ ADB; (2)求 AB 的長; (3)延長 DB 到 F,使得 BF=BO,連接 FA,試判斷直線 FA 與⊙ O 的位置關系,并說明理由.

考點:

專題: 分析:

解答:

相似三角形的 判定與性質;勾 股定理;圓周角 定理;切線的判 定. 計算題;證明 題;壓軸題. (1)根據 AB=AC,可得 ∠ ABC=∠ C, 利用 等量代換可得 ∠ ABC=∠ D 然后 即可證明 △ ABE∽ △ ADB. (2)根據 △ ABE∽ △ ADB, 利用其對應邊 成比例,將已知 數值代入即可 求得 AB 的長. (3)連接 OA, 根據 BD 為⊙ O 的直徑可得 ∠ BAD=90°,利 用勾股定理求 得 BD,然后再 求證∠ OAF=90° 即可. (1)證明: ∵ AB=AC, ∴ ∠ ABC=∠ C(等 邊對等角) , ∵ ∠ C=∠ D(同弧 所對的圓周角 相等) , ∴ ∠ ABC=∠ D(等 量代換) , 又 ∵ ∠ BAE=∠ DAB, ∴ △ ABE∽ △ ADB, (2)解: ∵ △ ABE∽ △ ADB,
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2



∴ AB =AD?AE= (AE+ED) ?AE=(2+4) ×2=12, ∴ AB= . (3)解:直線 FA 與⊙ O 相切, 理由如下: 連接 OA,∵ BD 為⊙ O 的直徑, ∴ ∠ BAD=90°, ∴

=4 BF=BO= , ∵ AB= , ∴ BF=BO=AB, ∴ ∠ OAF=90°, ∴ OA⊥ AF, ∴ 直線 FA 與⊙ O 相切.

點評:

此題主要考查 相似三角形的 判定與性質,勾 股定理,圓周角 定理,切線的判 定等知識點,有 一定的拔高難 度,屬于難題.

30. (2011?黔南州)如圖,在平面直角坐標系中,點 A 的坐標為(1, ) ,△ AOB 的面積是 . (1)求點 B 的坐標; (2)求過點 A、O、B 的拋物線的解析式; (3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點 C,使△ AOC 的周長最小?若存在,求出點 C 的坐標;若不存在,請 說明理由; (4)在(2)中 x 軸下方的拋物線上是否存在一點 P,過點 P 作 x 軸的垂線,交直線 AB 于點 D,線段 OD 把△ AOB 分成兩個三角形,使其中一個三角形面積與四邊形 BPOD 面積比為 2:3?若存在,求出點 P 的坐標;若不存在, 請說明理由.

考點:

二次函數綜合 題;三角形的面 積;相似三角形 的判定與性質.
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專題: 分析:

綜合題;壓軸 題. (1)由三角形 S= OB? =

可得點 B 的 坐標; (2)設拋物線 的解析式為 y=ax(x+2) ,點 A 在其上,求得 a; (3)存在點 C、 過點 A 作 AF 垂 直于 x 軸于點 F,拋物線的對 稱軸 x=﹣1 交 x 軸于點 E、當點 C 位于對稱軸與 線段 AB 的交點 時,△ AOC 的周 長最小,由三角 形相似,得到 C 點坐標. (4) 設p (x, y) , 直線 AB 為 y=kx+b, 解得 k、 b,由 S 四 BPOD=S△ BPO+S△ BOD, S△AOD=S△AOB﹣ S△BOD,兩面積 正比可知,求出 x. 解: (1)由題意 得

解答:

OB?

=



∴ B(﹣2,0) . (2)設拋物線 的解析式為 y=ax(x+2) ,代 入點 A (1, ) , 得 ∴ y= x, (3)存在點 C、 過點 A 作 AF 垂 直于 x 軸于點 F,拋物線 的對稱軸 x=﹣1 交 x 軸于點 E、 當點 C 位于對 稱軸 與線段 AB 的交 點時,△ AOC 的 周長最小, ∵ △ BCE∽ △ BAF, ∴ ∴ CE= , ∴ C(﹣1, ) . , = , x+
2

(4)存在.如 圖, 設P (x, y) , 直線 AB 為 y=kx+b, 則 ,

解得



∴ 直線 AB 為

y= S四

x+



BPOD=S△ BPO+S△ BOD=

|OB||YP|+

|OB||YD|=|YP|+ |YD| = ( ) , =﹣ x﹣ x+ , =﹣ x+ x﹣ ,
2 2

x+ x+
2

﹣ x

x+

∵ S△AOD=S△AOB ﹣S△BOD= ﹣ ×2×| x+

|=﹣ x+ ,



=

= , ∴ x1=﹣ ,x2=1 (舍去) , ∴ P(﹣ ,﹣ ) , 又

∵ S△BOD= ,

x+



=

= , ∴ x1=﹣ , x2=﹣ 2. P(﹣2,0) ,不 符合題意. ∴ 存在,點 P 坐 標是(﹣ ,﹣ ) .

點評:

本題二次函數 的綜合題,要求 會求二次函數 的解析式,考查 三角形相似和 面積公式等知 識點,本題步驟 有點多,做題需 要認真細心.


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